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Accessible Unlicensed Requires Authentication Published by Oldenbourg Wissenschaftsverlag April 1, 2015

Optimal Reduction of Multivariate Dirac Mixture Densities

Optimale Reduktion von multivariaten Dirac-Mischdichten
Uwe D. Hanebeck

Abstract

This paper is concerned with the optimal approximation of a given multivariate Dirac mixture, i.e., a density comprising weighted Dirac distributions on a continuous domain, by a Dirac mixture with a reduced number of components. The parameters of the approximating density are calculated by numerically minimizing a smooth distance measure, a generalization of the well-known Cramér–von Mises-Distance to the multivariate case. This generalization is achieved by defining an alternative to the classical cumulative distribution, the Localized Cumulative Distribution (LCD), as a smooth characterization of discrete random quantities (on continuous domains). The resulting approximation method provides the basis for various efficient nonlinear estimation and control methods.

Zusammenfassung

Dieser Beitrag befasst sich mit der optimalen Approximation einer multivarianten Dirac-Mischdichte durch eine Dirac-Mischdichte mit einer geringeren Anzahl an Komponenten. Dirac-Mischdichten bestehen aus gewichteten Dirac-Distributionen auf einer kontinuierlichen Domäne. Die Parameter der approximierenden Dichte werden durch numerische Minimierung eines glatten Abstandsmaßes gewonnnen, welches eine Verallgemeinerung der bekannten Cramér–von Mises-Distanz darstellt. Diese Verallgemeinerung wird durch die Einführung einer Alternative zu klassischen kumulativen Verteilungen, den so genannten lokalisierten kumulativen Verteilungen, als eine glatte Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen (auf kontinuierlichen Domänen) erreicht. Die resultierende Approximationsmethode bildet die Grundlage für verschiedene effiziente nichtlineare Schätz- und Regelungsverfahren.

Acknowledgement

The author would like to thank Dipl.-Inform. Henning Eberhardt for many fruitful discussions on this topic and the nice ideas for visualizing the performance of the proposed new reduction algorithm.

The author would also like to thank the anonymous reviewers for helpful comments that led to significant changes in this manuscript.

Received: 2015-1-21
Accepted: 2015-3-2
Published Online: 2015-4-1
Published in Print: 2015-4-28

©2015 Walter de Gruyter Berlin/Boston