Skip to content
Licensed Unlicensed Requires Authentication Published by De Gruyter (O) January 26, 2021

Beobachterentwurf für lineare, zeitvariante Systeme mittels Spektraltheorie

Spectral theory based observer design for linear time-varying systems
  • Markus Tranninger

    Markus Tranninger ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik im Rahmen des Forschungsprojektes Verlässlichkeit im Internet der Dinge der Technischen Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Zustandsschätzung, zeitvariante Systeme.

    ORCID logo EMAIL logo
    , Richard Seeber

    Richard Seeber ist wissenschaftlicher Mitarbeiter im Christian Doppler Labor für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: System- und Regelungstheorie; strukturvariable Systeme.

    , Martin Steinberger

    Martin Steinberger ist Assistenzprofessor am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik der Technischen Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Entwurf und Analyse vernetzter Regelkreise, Robuste Regelung.

    and Martin Horn

    Martin Horn ist Vorstand des Institutes für Regelungs- und Automatisierungstechnik und Leiter des Christian Doppler Labors für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Strukturvariable Systeme; Regelung vernetzter Systeme.

Zusammenfassung

Dieser Beitrag gibt einen Überblick über neue Beobachter-Entwurfsmethoden für eine Klasse von linearen, zeitvarianten Systemen. Der Entwurf beruht auf der Idee, nur instabile bzw. langsam abklingende Moden des beobachteten Systems in der Schätzfehlerdynamik zu modifizieren. Die dafür notwendigen theoretischen Grundlagen des sogenannten Lyapunov- und Dichotomie-Spektrums werden erläutert und mit Hilfe von Beispielen untermauert. Wichtige Eigenschaften der resultierenden Beobachter werden in Theorie und Simulation gezeigt.

Abstract

This article provides an overview of new observer design methods for a class of linear time varying systems. The design is based on the idea that only unstable or slowly decaying modes of the observed system are modified in the estimation error dynamics. The necessary theoretical foundations of the so-called Lyapunov and dichotomy spectrum are explained and supported by examples. The properties of the resulting observers are shown in theory and simulation.

Funding statement: Die Autoren bedanken sich für die finanzielle Unterstützung durch die Christian Doppler Forschungsgesellschaft, das österreichischen Bundesministeriums für Digitalisierung und Wirtschaftsstandort und die Nationalstiftung für Forschung, Technologie und Entwicklung.

Über die Autoren

Dr. techn. Markus Tranninger

Markus Tranninger ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik im Rahmen des Forschungsprojektes Verlässlichkeit im Internet der Dinge der Technischen Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Zustandsschätzung, zeitvariante Systeme.

Dr. techn. Richard Seeber

Richard Seeber ist wissenschaftlicher Mitarbeiter im Christian Doppler Labor für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: System- und Regelungstheorie; strukturvariable Systeme.

Ass. Prof. Dr. techn. Martin Steinberger

Martin Steinberger ist Assistenzprofessor am Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik der Technischen Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Entwurf und Analyse vernetzter Regelkreise, Robuste Regelung.

Univ.-Prof. Dr. techn. Martin Horn

Martin Horn ist Vorstand des Institutes für Regelungs- und Automatisierungstechnik und Leiter des Christian Doppler Labors für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme, Technische Universität Graz. Hauptarbeitsgebiete: Strukturvariable Systeme; Regelung vernetzter Systeme.

Danksagung

Diese Arbeit entstand im Rahmen des Lead-Projektes Dependable Internet of Things in Adverse Environments der Technischen Universität Graz und des Christian Doppler Labors für modellbasierte Regelung komplexer Prüfstandssysteme.

Anhang A Beweis von Satz 1

Die Beziehung (25) wird im Beweis von [10, Theorem 8.4] gezeigt. Die Relation (26) wird nun für einen oberen Bohl-Exponenten βjo gezeigt. Der Beweis für die restlichen Exponenten sowie für die unteren Bohl-Exponenten folgt daraus in analoger Weise.

Zunächst wählt man ein beliebiges ε>0. Das skalare System η˙(t)=(bjj(t)λ)η(t) mit λ=βjo+ε besitzt eine exponentielle Dichotomie mit P=1 und äquivalent dazu, siehe Definition 4, existieren reelle Konstanten α>0 und d0 so, dass

(49)lnΦ(t,t0)=t0tβjo+εbjj(s)dsα(tt0)d

für alle t0𝕁 und alle tt0 gilt. Nun wählt man ein hinreichend großes H0>0 so, dass αd/H0>α/2 erfüllt ist. Daraus folgt, dass

(50)1Htt+Hβjo+εbjj(s)dsαdH>α2

für alle HH0 gilt. Durch Aufspalten der Summe in (50) ergibt sich

(51)1Htt+Hβjo+εds1Htt+Hbjj(s)ds=βjo+εβjH,o>α2

und somit βjo+ε>βjH,o für alle HH0.    □

Literatur

1. L. Y. Adrianova. Introduction to Linear Systems of Differential Equations. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, 1995.10.1090/mmono/146Search in Google Scholar

2. G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli and J.-M. Strelcyn. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: a method for computing all of them. Part 1: Theory and Part 2: Numerical Applications. Meccanica, 15(1): 9–20 and 21–30, March 1980.10.1007/BF02128236Search in Google Scholar

3. D. Bestle and M. Zeitz. Canonical form observer design for non-linear time-variable systems. International Journal of Control, 38(2): 419–431, Aug. 1983.10.1080/00207178308933084Search in Google Scholar

4. M. Bocquet, K. S. Gurumoorthy, A. Apte, A. Carrassi, C. Grudzien and C. K. R. T. Jones. Degenerate Kalman filter error covariances and their convergence onto the unstable subspace. SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification, 5(1): 304–333, Jan. 2017.10.1137/16M1068712Search in Google Scholar

5. R. S. Bucy. Global theory of the Riccati equation. Journal of Computer and System Sciences, 1(4): 349–361, Dez. 1967.10.1016/S0022-0000(67)80025-4Search in Google Scholar

6. R. S. Bucy. The Riccati equation and its bounds. Journal of Computer and System Sciences, 6(4): 343–353, Aug. 1972.10.1016/S0022-0000(72)80026-6Search in Google Scholar

7. W. A. Coppel. Dichotomies in Stability Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1978.10.1007/BFb0067780Search in Google Scholar

8. J. Daleckii and M. Krein. Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space. Translations of mathematical monographs. American Mathematical Society, 2002.10.1090/mmono/043Search in Google Scholar

9. L. Dieci and C. Elia. SVD algorithms to approximate spectra of dynamical systems. Mathematics and Computers in Simulation, 79(4): 1235–1254, Dec. 2008.10.1016/j.matcom.2008.03.005Search in Google Scholar

10. L. Dieci and E. S. Van Vleck. Lyapunov spectral intervals: Theory and computation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 40(2): 516–542, 2003.10.1137/S0036142901392304Search in Google Scholar

11. L. Dieci and E. S. Van Vleck. Lyapunov and Sacker–Sell spectral intervals. Journal of Dynamics and Differential Equations, 19(2): 265–293, June 2007.10.1007/s10884-006-9030-5Search in Google Scholar

12. L. Dieci, R. D. Russell and E. S. Van Vleck. Unitary integrators and applications to continuous orthonormalization techniques. SIAM Journal on Numerical Analysis, 31(1): 261–281, 1994.10.1137/0731014Search in Google Scholar

13. T. S. Doan, K. J. Palmer and M. Rasmussen. The Bohl spectrum for linear nonautonomous differential equations. Journal of Dynamics and Differential Equations, 29(4): 1459–1485, Apr. 2016.10.1007/s10884-016-9530-xSearch in Google Scholar

14. O. Föllinger. Entwurf zeitvarianter Systeme durch Polvorgabe. at – Automatisierungstechnik, 26(1-12), Jän. 1978.10.1524/auto.1978.26.112.189Search in Google Scholar

15. J. Frank and S. Zhuk. A detectability criterion and data assimilation for nonlinear differential equations. Nonlinearity, 31(11): 5235–5257, Oct. 2018.10.1088/1361-6544/aaddcbSearch in Google Scholar

16. W. Hahn. Stability of Motion. Springer Berlin Heidelberg, 1967.10.1007/978-3-642-50085-5Search in Google Scholar

17. D. Hinrichsen and A. J. Pritchard. Mathematical Systems Theory I. Springer Berlin Heidelberg, 2006.10.1007/b137541Search in Google Scholar

18. R. E. Kalman and R. S. Bucy. New results in linear filtering and prediction theory. J of Basic Engineering, 83(1): 95, 1961.10.1115/1.3658902Search in Google Scholar

19. A. M. Lyapunov. The general problem of the stability of motion. Tayor & Francis, London Washington, DC, 1992.10.1080/00207179208934253Search in Google Scholar

20. O. Perron. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme. Mathematische Zeitschrift, 31(1): 748–766, Dez. 1930.10.1007/BF01246445Search in Google Scholar

21. R. Ravi, A. Pascoal and P. Khargonekar. Normalized coprime factorizations for linear time-varying systems. Systems & Control Letters, 18(6): 455–465, June 1992.10.1016/0167-6911(92)90050-3Search in Google Scholar

22. R. J. Sacker and G. R. Sell. A spectral theory for linear differential systems. Journal of Differential Equations, 27(3): 320–358, March 1978.10.1016/0022-0396(78)90057-8Search in Google Scholar

23. S. Siegmund. Dichotomy spectrum for nonautonomous differential equations. Journal of Dynamics and Differential Equations, 14(1): 243–258, 2002.10.1023/A:1012919512399Search in Google Scholar

24. E. Sontag. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems. Springer, New York, 1998.10.1007/978-1-4612-0577-7Search in Google Scholar

25. M. Tranninger, R. Seeber, M. Steinberger and M. Horn. Uniform detectability of linear time varying systems with exponential dichotomy. IEEE Control Systems Letters, 4(4): 809–814, Oct. 2020.10.1109/LCSYS.2020.2992818Search in Google Scholar

26. M. Tranninger, R. Seeber, M. Steinberger and M. Horn. Efficient temperature profile estimation for silicon wafers based on subspace observers. In Proceedings of the 21st IFAC World Congress, July 2020.10.1016/j.ifacol.2020.12.1648Search in Google Scholar

27. M. Tranninger, R. Seeber, S. Zhuk, M. Steinberger and M. Horn. Detectability analysis and observer design for linear time varying systems. IEEE Control Systems Letters, 4(2): 331–336, Apr. 2020.10.1109/LCSYS.2019.2927549Search in Google Scholar

28. M. Valasek and N. Olgac. Efficient pole placement technique for linear time-variant SISO systems. IEE Proceedings – Control Theory and Applications, 142(5): 451–458, Sept. 1995.10.1049/ip-cta:19951959Search in Google Scholar

29. B. Zhou. On asymptotic stability of linear time-varying systems. Automatica, 68: 266–276, June 2016.10.1016/j.automatica.2015.12.030Search in Google Scholar

Erhalten: 2020-06-15
Angenommen: 2020-10-06
Online erschienen: 2021-01-26
Erschienen im Druck: 2021-02-23

© 2021 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston

Downloaded on 5.2.2023 from https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/auto-2020-0098/html
Scroll Up Arrow