Skip to content
Licensed Unlicensed Requires Authentication Published by De Gruyter October 14, 2016

Sur une conjecture de Breuil–Herzig

  • Julien Hauseux EMAIL logo

Abstract

Soit G un groupe réductif p-adique de centre connexe et de groupe dérivé simplement connexe. Nous montrons que certaines “chaînes ” de séries principales de G n’existent pas et nous établissons plusieurs propriétés de la construction Π(ρ)ord de Breuil–Herzig. En particulier, nous obtenons une caractérisation naturelle de cette dernière et nous démontrons une conjecture de Breuil–Herzig. Pour cela, nous calculons le δ-foncteur HOrdP des parties ordinaires dérivées d’Emerton relatif à un sous-groupe parabolique P de G sur une série principale. Nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations lisses modulo p de G obtenues par induction parabolique à partir de représentations supersingulières de sous-groupes de Levi de G et nous la démontrons pour les extensions par une série principale.

Let G be a split p-adic reductive group with connected centre and simply connected derived subgroup. We show that certain “chains” of principal series of G do not exist and we establish several properties of the Breuil–Herzig construction Π(ρ)ord. In particular, we obtain a natural characterization of the latter and we prove a conjecture of Breuil–Herzig. In order to do so, we partially compute Emerton’s δ-functor HOrdP of derived ordinary parts with respect to a parabolic subgroup on a principal series. We formulate a new conjecture on the extensions between smooth mod p representations of G parabolically induced from supersingular representations of Levi subgroups of G and we prove it in the case of extensions by a principal series.

Acknowledgements

Ce travail a été réalisé sous la direction de Christophe Breuil. Je lui suis profondément reconnaissant de m’avoir fait part de ses idées, ainsi que pour ses explications et ses remarques. Je remercie Florian Herzig pour de nombreux commentaires qui ont permis d’améliorer cet article.

References

[1] N. Abe, On a classification of irreducible admissible modulo p representations of a p-adic split reductive group, Compos. Math. 149 (2013), no. 12, 2139–2168. 10.1112/S0010437X13007379Search in Google Scholar

[2] J. L. Alperin, Local representation theory, Cambridge Stud. Adv. Math. 11, Cambridge University Press, Cambridge 1986. 10.1017/CBO9780511623592Search in Google Scholar

[3] A. Björner and F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Grad. Texts in Math. 231, Springer, New York 2005. Search in Google Scholar

[4] A. Borel and J. Tits, Compléments à l’article : “Groupes réductifs”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 41 (1972), 253–276. 10.1007/BF02715545Search in Google Scholar

[5] N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4 à 6, Masson, Paris 1981. Search in Google Scholar

[6] C. Breuil and F. Herzig, Ordinary representations of G(p) and fundamental algebraic representations, Duke Math. J. 164 (2015), no. 7, 1271–1352. Search in Google Scholar

[7] M. Demazure and P. Gabriel, Groupes algébriques. Tome I. Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Masson & Cie, Paris 1970. Search in Google Scholar

[8] M. Emerton, Jacquet modules of locally analytic representations of p-adic reductive groups I. Construction and first properties, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 39 (2006), no. 5, 775–839. 10.1016/j.ansens.2006.08.001Search in Google Scholar

[9] M. Emerton, Ordinary parts of admissible representations of p-adic reductive groups I. Definition and first properties, Représentations p-adiques de groupes p-adiques III : Méthodes globales et géométriques, Astérisque 331, Société Mathématique de France, Paris (2010), 355–402. Search in Google Scholar

[10] M. Emerton, Ordinary parts of admissible representations of p-adic reductive groups II. Derived functors, Représentations p-adiques de groupes p-adiques III : Méthodes globales et géométriques, Astérisque 331, Société Mathématique de France, Paris (2010), 403–459. Search in Google Scholar

[11] J. Hauseux, Compléments sur les extensions entre séries principales p-adiques et modulo p de G(F), preprint (2014), http://arxiv.org/abs/1407.4630. Search in Google Scholar

[12] J. Hauseux, Extensions entre séries principales p-adiques et modulo p de G(F), J. Inst. Math. Jussieu 15 (2016), no. 2, 225–270. 10.1017/S1474748014000243Search in Google Scholar

[13] F. Herzig, The classification of irreducible admissible mod p representations of a p-adic GLn, Invent. Math. 186 (2011), no. 2, 373–434. 10.1007/s00222-011-0321-zSearch in Google Scholar

[14] R. Ollivier, Critère d’irréductibilité pour les séries principales de GLn(F) en caractéristique p, J. Algebra 304 (2006), no. 1, 39–72. 10.1016/j.jalgebra.2006.03.047Search in Google Scholar

[15] V. Paškūnas, Admissible unitary completions of locally p-rational representations of GL2(F), Represent. Theory 14 (2010), 324–354. 10.1090/S1088-4165-10-00373-0Search in Google Scholar

[16] M.-F. Vignéras, Série principale modulo p de groupes réductifs p-adiques, Geom. Funct. Anal. 17 (2008), no. 6, 2090–2112. 10.1007/s00039-007-0646-3Search in Google Scholar

Received: 2014-10-13
Revised: 2016-05-09
Published Online: 2016-10-14
Published in Print: 2019-06-01

© 2019 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston

Downloaded on 29.3.2023 from https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crelle-2016-0039/html
Scroll Up Arrow