Accessible Requires Authentication Published by Oldenbourg Wissenschaftsverlag September 29, 2018

Parameterschätzung und Cramér-Rao-Schranken bei der berührungslosen Temperaturmessung

Parameter estimation and Cramér-Rao lower bounds in non-contact temperature measurement
Dominik Exel, Bernhard Zagar, Stefan Schuster, Vera Ganglberger and Johann Reisinger
From the journal tm - Technisches Messen

Zusammenfassung

Eine Herausforderung bei der berührungslosen Temperaturmessung an metallischen Oberflächen ist der veränderliche Emissionsgrad. Erschwerend kommt hinzu, dass dieser Emissionsgrad meistens unbekannt und nur schwer bestimmbar ist. Dieser Beitrag zeigt eine Methode auf, wie man aus Messdaten einer Multispektralkamera die Temperatur eines Objektes mit geringer Unsicherheit schätzen kann, ohne dabei den Emissionsgrad explizit zu kennen. Es werden zwei Modelle für den Emissionsgrad hinsichtlich ihrer Modellfehler bei der Temperaturmessung vergleichend untersucht. Basierend auf diesen Modellen und dem Planck’schen Strahlungsgesetz ergibt sich jeweils ein Separable Least-Squares-Problem über das die Objekttemperatur geschätzt werden kann. Dabei kann es sinnvoll sein, den unbekannten spektralen Emissionsgrad über einen mittleren Emissionsgrad in den Modellen zu berücksichtigen. Weiters werden die Cramér-Rao-Schranken für die Temperaturschätzung angegeben und mit realen Messdaten und Simulationen verifiziert.

Abstract

A challenge in non-contact temperature measurement of metallic surfaces is the typically unknown and variable emissivity of the object which is needed to accurately estimate temperature. This article discusses a temperature estimation method from data of a multi-spectral camera without explicitely knowing the spectral emissivity. Two different models of emissivity are discussed. Based on these models and planck’s radiation law, a separable least squares problem results. It may be useful to model the unknown emissivity by an average emissivity. Furthermore, the Cramér-Rao lower bounds for temperature estimation are giveb and verified with measurement data and simulations.

Funding statement: Diese Arbeit wurde vom COMET-K2 Center des Linz Center of Mechatronics (LCM), das durch die österreichische Bundesregierung und das Bundesland Oberösterreich gefördert wird, unterstützt.

Anhang A

Für die Cramér-Rao Lower Bound Berechnungen werden die partiellen Ableitungen nach den unbekannten Parametern für die Berechnung die Fisher Informationsmatrix benötigt.

A.1 Emissionsgradmodell 1 mit Wien’scher Näherung

Die partiellen Ableitungen für das Signalmodell (18)

(32)s(λn;θ1)=α0c1λn5·ec2λnT+w[λn]

lauten:

(33)s(λn;θ1)α=c11λn5·ec2λnT
(34)s(λn;θ1)T=c1c2α0T21λn6·ec2λnT.
Somit lauten die Einträge der Fisher Informationsmatrix:
(35)[I(θ1)WIEN]11=c12σ2n=0N11λn10e2c2λnT
(36)[I(θ1)WIEN]12=c12c2α0σ2T2n=0N11λn11e2c2λnT
(37)[I(θ1)WIEN]22=c12c22α02σ2T4n=0N11λn12e2c2λnT.

A.2 Emissionsgradmodell 1 mit Rayleigh-Jeans-Näherung

Die partiellen Ableitungen für das Signalmodell (23)

(38)s(λn;θ1)=α0c1Tc2λn4+w[λn]

lauten:

(39)s(λn;θ1)α=c1c2Tλn4
(40)s(λn;θ1)T=α0c1c21λn4.
Die Fisher Informationsmatrix lautet somit:

(41)[I(θ1)RJ]=n=0N11λn8c12T2c22α0c12T2c22α0c12T2c22c12α0c22.

A.3 Emissionsgradmodell 2 mit Wien’scher Näherung

Die partiellen Ableitungen für das Signalmodell (25)

(42)s(λn;θ2)=(α0+α1λn)c1λn5·ec2λnT+w[λn]

lauten:

(43)s(λn;θ2)α0=c1λn5·ec2λnT
(44)s(λn;θ2)α1=c1λn4·ec2λnT
(45)s(λn;θ2)T=(α0+α1λn)c1c2T21λn6·ec2λnT.
Die Einträge der FIM berechnen sich laut (17) zu:
(46)[I(θ2)WIEN]11=1σ2n=0N1c12λn10e2c2λnT
(47)[I(θ2)WIEN]22=1σ2n=0N1c12λn8e2c2λnT
(48)[I(θ2)WIEN]33=1σ2n=0N1c12c22λn12T4e2c2λnT(α0+α1λn)2
(49)[I(θ2)WIEN]12=1σ2n=0N1c12λn9e2c2λnT
(50)[I(θ2)WIEN]13=1σ2n=0N1c12c2λn11T2e2c2λnT(α0+α1λn)
(51)[I(θ2)WIEN]23=1σ2n=0N1c12c2λn10T2e2c2λnT(α0+α1λn).
Zur Berechnung der Varianz der Temperaturschätzung für den Fall Emissionsgrad unbekannt, wird der Ausdruck Ω(T) benötigt

(52)Ω(T)=ξ(10,0,T)ξ(8,0,T)ξ(9,0,T)2γ(T)+2δ(T)ζ(T)η(T)ν(T)

mit

(53)γ(T)=ξ(10,0,T)ξ(8,0,T)ξ(12,2,T)
(54)δ(T)=ξ(9,0,T)ξ(10,1,T)ξ(11,1,T)
(55)ζ(T)=ξ(11,1,T)2ξ(8,0,T)
(56)η(T)=ξ(10,0,T)ξ(10,1,T)2
(57)ν(T)=ξ(12,2,T)ξ(9,0,T)2
und

(58)ξ(α,β,T)=n=0N1(α0+α1λn)βλnαe2c2λnT.

A.4 Emissionsgradmodell 2 mit Rayleigh-Jeans-Näherung

Die partiellen Ableitungen für das Signalmodell (28)

(59)s(λn;θ2)=(α0+α1λn)c1Tλn4c2+w[λn]

lauten:

(60)s(λn;θ2)α0=c1Tλn4c2
(61)s(λn;θ2)α1=c1Tλn3c2
(62)s(λn;θ2)T=(α0+α1λn)c1λn4c2.
Die Einträge der FIM lauten:
(63)[I(θ2)RJ]11=1σ2n=0N1c12T2λn8c22
(64)[I(θ2)RJ]22=1σ2n=0N1c12T2λn6c22
(65)[I(θ2)RJ]33=1σ2n=0N1c12λn8c22(α0+α1λn)2
(66)[I(θ2)RJ]12=1σ2n=0N1c12T2λn7c22
(67)[I(θ2)RJ]13=1σ2n=0N1c12Tλn8c22(α0+α1λn)
(68)[I(θ2)RJ]23=1σ2n=0N1c12Tλn7c22(α0+α1λn).
Zur Berechnung der Varianz der Temperaturschätzung für den Fall, dass der Emissionsgrad unbekannt ist, wird der Ausdruck Ω benötigt:

(69)Ω=ξ(8,0)ξ(6,0)ξ(7,0)2γ+2δζην

mit

(70)γ=ξ(8,0)ξ(6,0)ξ(8,2)
(71)δ=ξ(7,0)ξ(7,1)ξ(8,1)
(72)ζ=ξ(8,1)2ξ(6,0)
(73)η=ξ(8,0)ξ(7,1)2
(74)ν=ξ(8,2)ξ(7,0)2
und

(75)ξ(α,β)=n=0N1(α0+α1λn)βλnα.

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Received: 2018-07-31
Accepted: 2018-09-18
Published Online: 2018-09-29
Published in Print: 2019-01-28

© 2019 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston