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Accessible Unlicensed Requires Authentication Published by Oldenbourg Wissenschaftsverlag September 25, 2009

Analyse und Synthese nichtlinearer dissipativer Systeme: Ein Überblick (Teil 2) (Analysis and Synthesis of Non-linear Dissipative Systems: An Overview (Part 2))

A. Kugi and Kurt Schlacher
From the journal

Dieser zweite Teil des Beitrages setzt mit den Kapiteln 5 bis 9 den im letzten Heft erschienenen ersten Teil fort. Dabei wird im Kapitel 5 eine Art kanonische Form passiver Systeme, die es sehr schön erlaubt, die Energieflüsse im Systeminneren und mit der Systemumgebung zu charakterisieren, vorgestellt. Diese Klasse nichtlinearer Systeme, auch unter dem Namen PCHD-Systeme (port-controlled Hamiltonian systems with dissipation) bekannt, bildet den Ausgangspunkt für den im Kapitel 6 beschriebenen passivitätsbasierten Reglerentwurf und die Methode des Einbringens von zusätzlicher Dämpfung in den geschlossenen Kreis. Die Dissipativität und die Passivität sind zufolge ihrer Definition mit dem Zustand des Systems verbunden. Im Gegensatz dazu ist der im Kapitel 7 eingeführte Begriff der positiven Reellheit eine Eigenschaft des Eingangs-Ausgangsverhaltens und damit vom Zustand unabhängig. Die Verbindung der positiven Reellheit mit der L2-Stabilität und der Passivität sowie eine detaillierte Herleitung des aus der linearen Theorie wohlbekannten Kalman-Yakubovich-Popov-Lemmas, formuliert für nichtlineare Systeme mit affinem Eingang, werden ausführlich im siebten Kapitel besprochen. Das Kapitel 8 ist dem klassischen Konzept der absoluten Stabilität gewidmet. Es wird gezeigt, dass sich die Kriterien zur Überprüfung der absoluten Stabilität, hier im Speziellen das Kreiskriterium und das Popov-Kriterium, auf ein allgemeineres Kriterium, welches auf der Rückkopplung zweier passiver Systeme beruht, zurückführen lassen. Diese Vorgangsweise führt zwar auf die aus der Literatur bekannten Ergebnisse, gibt aber einerseits einen tieferen Einblick in die Idee, die hinter diesen Konzepten steckt, und ermöglicht andererseits die Entwicklung vollkommen neuer Kriterien. Im neunten und letzten Kapitel werden die Ergebnisse dieses Beitrages kurz zusammengefasst. 

The second part of this contribution consisting of the sections 5 to 9 continues the first part published in the last issue. In Section 5 a passive canonical form which allows a pleasing interpretation of the energy flows in the system and with the system environment is introduced. This class of systems, also known as PCHD-systems (port-controlled Hamiltonian systems with dissipation), is the starting point for the passivity-based controller design with damping injection being presented in Section 6. From their definitions the concepts of dissipativity and passivity are related with the state of the system. In contrast to this, the notion of positive realness introduced in Section 7 is based on the input-output behavior of the system and hence is independent of the state. Furthermore, the relation between positive realness, the L2-stability and the passivity together with the celebrated Kalman-Yakubovich-Popov-Lemma formulated for non-linear systems are discussed in detail in Section 7. Section 8 is devoted to the classical concept of absolute stability. It will be shown that the well known circle and Popov-criterion are just the application of a far more general theorem, which is based on the feedback interconnection of two passive systems. The results are well known, but the considerations being presented allow not only a deep insight into the ideas behind these concepts but can also be understood as a starting point for new modified stability criteria. Finally, in the last section, Section 9, we will give a short conclusion. 

Published Online: 2009-09-25
Published in Print: 2002-03