Formale Methoden für implizite dynamische Systeme (A Formal Approach for Implicit Dynamic Systems)

Abstract

Die Modellierung komplexer dynamischer Systeme führt oft auf Sätze von algebraischen Gleichungen und gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dieser Beitrag präsentiert nun Methoden für implizite Systeme basierend auf der formalen Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Es wird gezeigt, dass gewisse implizite Systeme, man nennt sie formal integrable, Eigenschaften aufweisen, die viele Untersuchungen ohne Überführung in eine explizite Form gestatten. Dabei wird ein dynamisches System als eine Untermannigfaltigkeit mit einer speziellen geometrischen Struktur aufgefasst. Die Form der Gleichungen entspricht dann lediglich einer speziellen Parametrierung dieser Untermannigfaltigkeit. Da man unter gewissen Regularitätsannahmen jedes implizite System in ein formal integrables überführen kann, stellt diese Klasse ein natürliches Bindeglied zwischen den expliziten und den impliziten Systemen dar. Auf Basis dieser Betrachtung werden zuerst Ergebnisse für den allgemeinen Fall präsentiert, dann werden Systeme, die linear in den Ableitungen sind, ausführlicher untersucht. Zum Abschluss wird die Theorie auf den linearen und zeitinvarianten Fall angewandt.