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Abstract

In this article, we give a definition and a classification of ‘higher’ simple-minded systems in triangulated categories generated by spherical objects with negative Calabi–Yau dimension. We also study mutations of this class of objects and that of ‘higher’ Hom-configurations and Riedtmann configurations. This gives an explicit analogue of the ‘nice’ mutation theory exhibited in cluster-tilting theory.

Abstract

This paper shows a new phenomenon in higher cluster tilting theory. For each positive integer d, we exhibit a triangulated category 𝖢 with the following properties.

On the one hand, the d-cluster tilting subcategories of 𝖢 have very simple mutation behaviour: Each indecomposable object has exactly d mutations. On the other hand, the weakly d-cluster tilting subcategories of 𝖢 which lack functorial finiteness can have much more complicated mutation behaviour: For each 0 ≤ ℓ ≤ d - 1, we show a weakly d-cluster tilting subcategory 𝖳 which has an indecomposable object with precisely ℓ mutations.

The category 𝖢 is the algebraic triangulated category generated by a (d + 1)-spherical object and can be thought of as a higher cluster category of Dynkin type A .

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, 33D80, 33E30, 45E10, 45Pxx, 46N20, 47G10, 65R10, 20CXX, 81Q60, 81T30, 81T60, 83EXX, 16S30, 22E47, 81R20, 47A15, 47A46, 53A55, 70H33, 32C11, 46S60, 58A50, 14K25, 13F60 Author Prof. Dr. Vladimir K. Dobrev Bulgarian Academy of Sciences Institute for Nuclear Research and Nuclear Energy Tsarigradsko Chaussee 72 1784 Sofia Bulgaria dobrev@inrne.bas.bg; http://theo.inrne.bas.bg/~dobrev/ ISBN 978-3-11-060968-4 e-ISBN (PDF) 978-3-11-061140-3 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-060971-4 ISSN 2194-3532 Library of Congress Control Number: 2016033263 Bibliographic information published by

die Abbasidenpartei, Sa'd S. 65 letzte Zeile bis S. 66 Zeile 3, S. 68 Zeile 13f. 60) Nur für die Lebensdaten einiger Imame werden verschiedene Versionen gegeben, vgl. an-Naubahti S. 22, 63. Es mögen hier Ergänzungen an-Naubnhtis vorliegen. Sa'd hat noch weitere Versionen hinzugefügt (S. 24f., 70). 40 Wilfcrd Madelung Käzims, vielleicht erst nach dem Tod ar-Ridäs verfaßt sein61). Der ima- mitische Gelehrte, den die Quelle Ibn at-Tammär nannte, wird jetzt als * 1 b. Ismail al-Mitaml erwähnt52). HiSäm b. al-Hakam selbst wird schon zuvor in einer Gruppe von Gelehrten

Causalgia 13 f 60 x x x 23 x Back pain 14 f 53 x x x 45 x Chronic LBP 15 f 59 x x x 76 x Sciatic syndrome 16 f 60 x x x 73 x Lumbar spondylarthrosis 17 f 45 x x x 56 x Pelvic pain 18 f 45 x x x 47 x Fibromyalgia 19 f 26 x x x 20 x CRPS 20 m 55 x x x 83 x Sciatic syndrome 21 m 51 x x x 43 x Sciatic syndrome 22 m 36 x x x 55 x Cervical disc herniation 23 m 30 x x x 77 x Chronic LBP 24 m 53 x x x 66 x CRPS 25 m 50 x x x 76 x Cervical spondylarthrosis 26 m 73 x x x 83 x Polyneuropathy 27 m 47 x x x 64 x Chronic neck pain 28 m 58 x x x 68 x Sciatic syndrome 29 m 37 x x x 89 x

MORGAN ' —"" ' ι · · LONGINUS AND THE WOUNDED HEART 819 8 2 0 NIGEL MORGAN, LONGINUS AND THE W O U N D E D HEART he Crucifixion with the kneeling Longinus. London, Brit. Libr. MS Add. 50001, f. CHRISTOPHER NORTON, KLOSTERNEUBURG AND YORK 821 822 CHRISTOPHER N O R T O N 3. York Minster, west window, wl: Annunciation, 1339 4. York Minster, west window, wl: Resurrection, 1339 6. Taymouth Hours, Brit. Libr., Ms Yates Thompson 13: f. 60: Annunciation, c. 1335 5. York Minster, window sXXXV: Annunciation, c. 1340 •m® KLOSTERNEUBURG AND YORK: ARTISTIC CROSS

.2 t 26.4 q 7 6 6 . 6 d *36.9 s +4 7 .1 t 33.7 s +46.9 t 214.7 s 32.0 s 49.8 t 26.8 q 8 d *65.4 d 37.1 s 48.2 t 33.8 s 47.0 t 214.6 s 32.1 s +49.3 t 27.0 q 4 63.9 d 36.8 s *47.3 t 33.8 s *46.4 t 213.2 s 32.0 s 49.3 t °26.7 q 5e 65.2 d 36.9 s *47.3 t 33.8 s *46.2 t 2 1 1 . 8 s 32.0 s 48.9 t 27.0 q 10 60.5 d 47.0 s 42.7 t 33.7 s 47.1 t 215.8 s 31.8 s 49.5 t 26.9 q 13f 60.7 d 47.3 s 42.7 t 33.8 s 47.2 t 214.0 s 31.8 s 49.6 t 27.0 q 11 60.7 d *43.5 s +47.4 t 33.4 s +48.6 t 215.7 s 32.3 s 49.7 t 26.7 q 14 64.5 d *46.7 s +47.6 t 33.3 s +48.6 t 214.3 s 32.3 s 49.6 t 26

nicht mehr zu trauen ist65, erledigt sich dieses Argument. Mühlbachers Emendations- vorschlag II non. Sept. (Verlesung von V aus II = 4. September) beseitigt keines der genannten Datierungsprobleme. Vielmehr ist jede Datierung der Urkunde in den September 819 und erst recht in den September 821 problematisch, weil Helisachar nur bis 819 August 7 (BM2 699) als Kanz- leichef begegnet; ab 819 August 17 (BM2 700) ist bereits Fridugis Kanzlei- 58 So auch müller, Beiträge 2 S. 340. 59 Wilmans, Kaiserurkunden S. 13 f. 60 Die von Bm2 702 postulierte Korrektur aus

Vgl. Keller, Das Recht und die medizinische Forschung, MedR 1991, I I . (13 f.). 60 Vgl. dazu Sternberg-Lieben, Strafbarkeit eigenmächtiger Genomanalyse, GA 1990, 289 ff. (300ff.). 61 Abschlußbericht der Bund-Länder-Arbeitsgruppe „Genomanalyse" a.a.O. (Fn. 53), S. 47 ff. 62 Abschlußbericht der Bund-Länder-Arbeitsgruppe „Genomanalyse" a.a.O. (Fn. 53), S. 57 ff. 63 Vgl. dazu u.a. Henkel Schmitter, DNA-Polymorphismen in forensischen Fragestellungen, MDR 1989, 404ff.; Jung, Zum genetischen Fingerabdruck, MschKrim 1989, 103 ff.; Keller, Rainer, Die Genomanalyse im

] ) G185 +& %186 13 F 60 %187 +)" " (( 175 Scribe has started to write but with insufficient space, recommenced on the next line. 176 udrā v. I ;,6 l. 22; udrā v. I L*6 l. 13; udrā v. I ;(6 l. 4 read / . 177 The scribe has squashed the letter Shin, in order to accommodate 1 & at the end of the line. 178 udrā v. I ;,6 l. 23; udrā v. I L*6 l. 14; udrā v. I ;(6 l. 5 read % 179 udrā v. I ;,6 l. 24; udrā v. I L*6 l. 14; udrā v. I ;(6 l. 6