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Statistics & Decisions 23, 81–100 (2005) c© R. Oldenbourg Verlag, München 2005 Absolutely continuous optimal martingale measures Beatrice Acciaio Received: April 16, 2005; Accepted: August 8, 2005 Summary: In this paper, we consider the problem of maximizing the expected utility of terminal wealth in the framework of incomplete financial markets. In particular, we analyze the case where an economic agent, who aims at such an optimization, achieves infinite wealth with strictly positive probability. By convex duality theory, this is shown to be equivalent to

3 Martingale In der Einleitung (1.2) habenwir uns überlegt, dass dasVermögen (Xn)n∈ℕ0 eines Spie- lers bei einem fairen Spielmit endlich vielen Ausgängen der Beziehung 𝔼 (Xn | X0 = x0, X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xn−1 = xn−1) = xn−1, n ∈ ℕ, (3.1) genügen sollte. Mit Hilfe der in Kapitel 2 eingeführten (abstrakten) bedingten Erwar- tung können wir diese Tatsache durch 𝔼 (Xn | X0, X1, X2, . . . , Xn−1) kurz für: 𝔼 (Xn | σ(X0 , X1 , X2 , . . . , Xn−1))= Xn−1, n ∈ ℕ, (3.2) ausdrücken. Hierzu beachtenwir, dass die σ-Algebra σ(X0, . . . , Xn−1) vonMengen der Art⋂n−1i

314 XI. Martingale XI. Martingale Die von J. L. DOOB (vgl. [13] und [51]) begründete Theorie der Martingale ist eines der Hauptwerkzeuge für die Theorie der stochastischen Prozesse. Sie liefert eine einheitliche Methode zur Behandlung verschiedener Grenzwert- aussagen der W-Theorie. Insbesondere werden wir mit Hilfe des Martingal- Begriffes Sätze aus dem Problemkreis des Gesetzes der großen Zahlen in neuem Licht studieren können. Man gelangt zum Martingal-Begriff weitgehend zwangsläufig, wenn man das Konvergenzverhalten bedingter Erwartungen E n(X) bezüglich

314 XI. Martingale XI. Martingale Die von J. L. DOOB (vgl. [13] und [53]) begründete Theorie der Martingale ist eines der Hauptwerkzeuge für die Theorie der stochastischen Prozesse. Sie liefert eine einheitliche Methode zur Behandlung verschiedener Grenzwert- aussagen der W-Theorie. Insbesondere werden wir mit Hilfe des Martingal- Begriifes Sätze aus dem Problemkreis des Gesetzes der großen Zahlen in neuem Licht studieren können. Man gelangt zum Martingal-Begriff weitgehend zwangsläufig, wenn man das Konvergenzverhalten bedingter Erwartungen E

Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics Volume 9, Issue 2 2005 Article 2 A Test of the Martingale Hypothesis Joon Y. Park∗ Yoon-Jae Whang† ∗Rice University, jpark@tamu.edu †Korea University, whang@korea.ac.kr All rights reserved. No part of this publica- tion may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permis- sion of the publisher, bepress, which has been given certain exclusive rights by the author. Studies in Nonlinear

L E C T U R E 4 M A R T I N G A L E S . I N E Q U A L I T I E S F O R M A R T I N G A L E S A sequence {&}, k € Z + or k € Z, with values in R is said to be a martingale if for all k from the domain of definition, a) cr-algebras are given such that 5*: C St+i and ^ is -measurable, b) E |&| < oo, c) E(&+i/ff*) Here are some examples of martingales. EXAMPLE 1. Let rji be independent random variables with E rji = 0 . Put = rjo + • • • + rjk, k £ Z+, and define the u-algebra Jfc generated by r ) 0 T h e n is a martingale because of E {Vo H 1- Vk+i/Sk) = m

References [1] A. Almeida, Inversion of the Riesz potential operator on Lebesgue spaces with variable exponent. Fract. Calc. Appl. Anal. 6, No 3 (2003), 311-327; http://www.math.bas.bg/∼fcaa. [2] A. Almeida and P. H¨ast¨o, Besov spaces with variable smoothness and integrability. J. Funct. Anal. 258, No 5 (2010), 1628-1655. [3] D. L. Burkholder, Martingale transforms. The Annals of Mathematical Statistics 37, No 6 (1966), 1494-1504. [4] J. A. Chao and H. Ombe, Commutators on Dyadic Martingales. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 61, No 2 (1985), 35-38. [5] D

£ is a submartingale and A > 0, then (11.2) holds. Thus (11.2) holds for both supermartingales and for submartingales (and also, of course, for martingales, either because a martingale is a su­ permartingale or because a martingale is a submartingale). Since — £ is a supermartingale if and only if £ is a submartingale, and vice versa, we also have the inequality Pr{max(£(a) - £(*)) > A} < j||£ (6 ) - £(a)||i, CONVERGENCE OF MARTINGALES 43 valid for both submartingales and supermartingales. We have proved the following theorem. T heorem 11.1 Let £ be a