multi-volume work: Mathematische Schriften

Published by Akademie Verlag

Reihe 7 Mathematische Schriften

Edited by: Leibniz-Forschungsstelle Hannover der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen beim Leibniz-Archiv der Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek Hannover

Part of the multi-volume work Sämtliche Schriften und Briefe

Overview
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Reihe VII der Akademie-Ausgabe von Leibniz' Sämtlichen Schriften und Briefen enthält die Mathematischen Schriften. Die Reihe wird herausgegeben von der Leibniz-Forschungsstelle Hannover der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen beim Leibniz-Archiv der Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek Hannover.

Book Ahead of Publication 1990

BAND 1 1672-1676. Geometrie - Zahlentheorie - Algebra (1. Teil)

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Die Reihe VII beginnt mit der Publikation der Leibnizschen nachgelassenen Schriften zur Mathematik aus der Zeit seines Pariser Aufenthalts (ca. acht bis zehn Bände). Die geometrischen Schriften im Band 1 umfassen unter anderem Arbeiten zu Konstruktionsproblemen, zur Dreieckslehre und zur euklidischen Elementargeometrie. Unter den zahlentheoretischen Schriften sind Arbeiten zur unbestimmten Analytik und zu diophantischen Gleichungen zu nennen, die vor allem von Bachet, Arnauld und Fermat mitangeregt wurden. Aus den umfangreichen algebraischen Schriften werden vorerst nur die mit gewisser Sicherheit auf die Jahre 1672 bis 1674 zu datierenden Studien veröffentlicht, so z. B. die Arbeiten zur Verhältnislehre, die Versuche, Gleichungen zweiten Grades in rationale Zahlen zu lösen, und die frühen Studien zur Gleichungslehre, die in engem Anschluß an die Geometrie von Descartes entstanden.

DOI:: https://doi.org/10.0000/9783050065458
ISBN:: 9783050065458
ISBN:: 9783050000152
Subject:: Philosophy
Subject:: History of Philosophy
Subject:: Modern Philosophy
Subject:: Early Modern Philosophy
Publisher:: Akademie Verlag

Book Ahead of Publication 1996

BAND 2 1672-1676. Algebra (2. Teil)

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Der Zweite Band der Reihe VII umfaßt die algebraischen Schriften der Jahre 1675 bis 1676. In den weitaus meistens von ihnen beschäftigt sich Leibniz mit der Gleichungslehre, vor allem dem irreduziblen Fall der kubischen Gleichung. Hinzu kommen die Untersuchungen zu Gleichungen vierten, fünften und sechsten Grades. Außerdem werden spezielle Gleichungssysteme behandelt.

Die Aufzeichnungen zeigen, daß sich Leibniz zunächst mit den Lösungsmethoden seiner Vorgänger vertraut gemacht hat, wie oft wiederholte Hinweise auf Bombelli, Brancker, Cardano, Debeaune, Descartes, dal Ferro, Hudde, Rahn, Schooten, Sluse und Viète erkennen lassen, und dann diese Ansätze selbständig weiterentwickelte. Dabei ist Leibniz insbesondere zu einem vertieften Verständnis der komplexen Lösungen gelangt.

Von historischem Interesse sind vor allem seine Versuche, Gleichungen mit Hilfe höherer Kurven zu lösen sowie jene Aufzeichnungen vom Dezember 1675 und Frühjahr 1676, in denen er zusammen mit Tschirnhaus Gleichungsfragen erörtert.

Eine kleinere Gruppe von Arbeiten beschäftigt sich mit imaginären Größen, Notationsfragen und allgemeinen Betrachtungen zu algebraischen Problemen.

DOI:: https://doi.org/10.0000/9783050070933
ISBN:: 9783050070933
ISBN:: 9783050027272
Subject:: Philosophy
Subject:: History of Philosophy
Subject:: Modern Philosophy
Subject:: Early Modern Philosophy
Publisher:: Akademie Verlag

Book Ahead of Publication 2003

BAND 3 1672-1676. Differenzen, Folgen, Reihen

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Der vorliegende Band umfaßt 73 Studien, Entwürfe, Aufzeichnungen des Zeitraums 1672 bis 1676 zu Differenzen, Folgen und Reihen mit Ausnahme der Texte zur Kreisreihe im engeren Sinne. Dazu gehören neben den theoretischen Studien unter anderem Exzerpte und Anmerkungen zu de Saint-Vincent, G. Gosselin, M. Ricci und R. Fr. de Sluse, sowie mit E. W. von Tschirnhaus angefertigte Gesprächsnotizen.

Nach seiner frühen Beschäftigung mit der Kombinatorik sind die unendlichen Reihen das erste Gebiet der Mathematik, in dem Leibniz wissenschaftliche Erfolge erzielt: Im Herbst 1672 gelingt es ihm, die von Chr. Huygens gestellte Aufgabe der Summierung der unendlichen Reihe der reziproken Dreieckszahlen zu lösen. Diese Anwendung seiner Differenzenmethode ermöglicht ihm auch, das Ergebnis auf die weiteren reziproken figurierten Zahlen auszudehnen und später im harmonischen Dreieck suggestiv darzustellen.

In Auseinandersetzung mit den Ergebnissen und Methoden von Galilei, Gregory, Mengoli, Mercator, Pascal und Wallis versucht er in der Folgezeit, die Tragkraft seines Ansatzes zu erforschen und seine Resultate zu systematisieren. Dabei behält er immer die praktische Nutzanwendung im Blick, seien es Tafelwerke oder Wurzelalgorithmen zur Rechenerleichterung oder die Behandlung empirisch gewonnener Datenreihen wie bei der Messung der magnetischen Deklination. Zu den Hauptthemen gehört die Untersuchung der Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Summierung von diskreten und von kontinuierlichen Größen, die mit der Erfindung der Differential- und Integralrechnung ab Herbst 1675 besondere Bedeutung gewinnt. Einen weiteren Schwerpunkt bilden die damit in Zusammenhang stehenden Überlegungen zum Unendlichen.

Außerhalb der Bandthematik finden sich frühe Belege für die Einführung der Termini Funktion und transzendent, in einem längeren Exkurs zu Rollkurven konstruiert Leibniz unbewußt bereits die Kettenlinie und setzt sich kritisch mit den Ansichten von Descartes über die in der Geometrie zulässigen Kurven auseinander.

DOI:: https://doi.org/10.0000/9783050083278
ISBN:: 9783050083278
ISBN:: 9783050040035
Subject:: Philosophy
Subject:: History of Philosophy
Subject:: Modern Philosophy
Subject:: Early Modern Philosophy
Publisher:: Akademie Verlag

Book 2008

BAND 4 1670–1673. Infinitesimalmathematik

Walter S. Contro, Eberhard Knobloch

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Der vorliegende Band umfasst die fast ausnahmslos undatierten Studien, Entwürfe, Aufzeichnungen vom März bis Ende 1673 zur Infinitesimalrechnung, also zur unmittelbaren Vorgeschichte der Erfindung des Calculus. Ein großer Teil der von Dietrich Mahnke 1926 genauer studierten Leibnizschen Aufzeichnungen, um die Entdeckungsgeschichte der höheren Analysis aufzuklären, wird hier erstmalig veröffentlicht. Durch sorgfältiges, schöpferisches Studium von Autoren wie H. Fabri, Chr. Huygens, N. Mercator, R. Fr. de Sluse, J. Gregory, B. Pascal und J. Wallis arbeitet sich Leibniz in die Infinitesimalmathematik ein. Er entwickelt fruchtbare Begriffe wie den der Funktion, des unendlich Kleinen, des charakteristischen Dreiecks. Von entscheidender Bedeutung ist die Ableitung des Transmutationssatzes, Leibniz’ erster herausragender Entdeckung auf dem Gebiet der Infinitesimalgeometrie. Das rechtwinklige Dreieck mit unendlich kleinen Seiten, das er das "charakteristische" nennt, erlaubt ihm die Ableitung von über 150 Sätzen. Er spricht von der "Trigonometrie des nicht Zuordbaren". Ein zweites herausragendes Ergebnis ist die Entdeckung der arithmetischen Kreisquadratur, d. h. einer konvergenten, unendlichen Reihe von rationalen Zahlen, deren Summe die Kreisfläche ergibt. Am Anfang dazu steht seine Einsicht in den Zusammenhang zwischen Kreisquadratur und Pascalschen Sätzen über die Summe der sinus und der Werte für 1– cosinus. Im August 1673 durchschaut er die Erzeugung einer arithmetischen Quadratur und die Wesens-gleichheit von Rektifikationen, Quadraturen und umgekehrten Tagentenkonstruktionen. Von hohem wissenschaftlichen Interesse sind Leibniz’ Studien zu bestimmten höheren Kurven: Konchoiden, Zykloiden, Zissoiden, Paraboloiden und Hyperboloiden. Seine programmatischen Untersuchungen zur Arithme-tik des Unendlichen und Analysis der Indivisiblen sind wichtige Beiträge zur Grundlagen- und Methodenproble-matik der Mathematik.

DOI:: https://doi.org/10.1524/9783050085951
ISBN:: 978-3-05-004262-6
ISBN:: 978-3-05-008595-1
Subject:: Philosophy
Subject:: History of Philosophy
Subject:: Modern Philosophy
Subject:: Early Modern Philosophy
Subject:: Philosophy, other
Publisher:: Akademie Verlag

Book 2008

BAND 5 1674–1676. Infinitesimalmathematik

Uwe Mayer, Siegmund Probst, Heike Sefrin-Weis

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Der vorliegende Band umfasst etwa 100 Studien, Entwürfe und Aufzeichnungen des Zeitraums 1674 bis 1676 zur Infinitesimalrechnung, die mit wenigen Ausnahmen bisher unveröffentlicht waren. Dazu gehören neben theoretischen Untersuchungen auch Exzerpte und Anmerkungen zu Schriften von I. Barrow, J. Gregory, R. Descartes, G. P. de Roberval u. a., Berichte und Erörterungen von Themen, die in Gesprächen mit C. Huygens, I. Boulliau, J. Bertet, O. Rømer und E. W. v. Tschirnhaus aufgeworfen wurden, außerdem gemeinsam mit Tschirnhaus angefertigte Gesprächsnotizen. Die Erfindung der später so genannten Differential- und Integralrechnung im Herbst 1675 gilt als der Höhepunkt des mathematischen Schaffens von Leibniz in seinen Pariser Jahren 1672-1676. Bereits 1673 hatte er den Zusammenhang zwischen Quadraturen, Rektifikationen und umgekehrter Tangentenmethode erkannt. Die von Huygens im Gespräch geäußerte Vermutung, Decartes habe eine solche, von ihm geheim gehaltene, Methode besessen, ist wohl der Grund dafür, dass sich Leibniz seit Sommer 1674 wieder verstärkt mit den Tangentenmethoden von Descartes, J. Hudde und R.-F. de Sluse auseinander setzt. Er versucht bis Januar 1675 erfolglos, das Extremwertverfahren mittels Bestimmung von Doppelwurzeln einer Gleichung für das inverse Tangentenproblem fruchtbar zu machen. Der Durchbruch gelingt ihm jedoch im Herbst 1675 mit den schon vorher von ihm praktizierten Differenzen- und Schwerpunktmethoden in einer Reihe von Studien, in denen er bereits die noch heute verwendeten Symbole entwirft und erste Regeln der Differential- und Integralrechnung aufstellt. In der Folgezeit greift er eigene frühere Methoden (charakteristisches Dreieck, Transmutation des Kurvensegments) wie fremde Resultate (Guldinsche Sätze) auf, um allgemeinere Ergebnisse zu erzielen. Leibniz' Hauptinteresse gilt neben einer umfassenden Behandlung der Kegelschnitte (hier besonders der Rektifikation von Hyperbel und Ellipse) den höheren Parabeln und Hyperbeln, den Evoluten, Evolventen und Rollkurven, sowie den transzendenten Kurven, mit denen er systematisch den Bereich der exakten Geometrie über die von Descartes vorgegebenen Grenzen hinaus erweitert. Einen wichtigen Beleg für die Leistungsfähigkeit seines neuen Ansatzes sieht er in der Lösung des berühmten sogenannte 2. Debeauneschen Problems im Juli 1676.

DOI:: https://doi.org/10.1524/9783050088334
ISBN:: 978-3-05-004578-8
ISBN:: 978-3-05-008833-4
Subject:: Philosophy
Subject:: History of Philosophy
Subject:: Modern Philosophy
Subject:: Early Modern Philosophy
Publisher:: Akademie Verlag

Book 2012

BAND 6 1673–1676. Arithmetische Kreisquadratur

Uwe Mayer, Siegmund Probst

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Von den etwa 50 Texten des Bandes waren nur fünf bisher ganz oder teilweise im Druck zugänglich, insgesamt etwa ein Drittel des Bandumfangs. Den größten Anteil daran hat die 1993 erstmals von E. Knobloch vollständig kritisch edierte Handschrift der Abhandlung zur arithmetischen Kreisquadratur vom Sommer 1676. Leibniz hat bereits kurz nach seiner Entdeckung der Kreisreihe eine Darstellung des Ergebnisses für eine Publikation verfasst. Nach mehreren Umarbeitungen in den folgenden Jahren schrieb er ab dem Frühjahr 1676 an einer Abhandlung, die er laufend thematisch erweiterte, wie die erhaltenen Entwürfe zeigen. Aus einer kurzen Darstellung seiner Transmutationsmethode und der daraus abgeleiteten Kreisquadratur durch die später nach ihm benannte unendliche Reihe entwickelte sich schließlich eine streng bewiesene Grundlegung der Kurvenquadratur mittels infinitesimaler Größen, in der die Quadratur der Kegelschnittkurven, der höheren Parabeln und Hyperbeln sowie der Logarithmuskurve behandelt werden. Neben der Leibniz-Reihe und der zugehörigen Hyperbelreihe enthält die Abhandlung auch die meisten Resultate von Leibniz in der Reihenlehre sowie einige spezielle Ergebnisse. Es handelt sich dabei um den umfangreichsten zusammenhängenden mathematischen Text, den Leibniz jemals verfasste. Bei seiner Abreise aus Paris im Oktober 1676 nahm Leibniz wohl die überlieferte Endfassung mit, ein für den Druck vorgesehenes Manuskript ließ er bei seinem Freund Soudry in Paris zurück. Das Manuskript ging im Herbst 1679 beim Transport nach Hannover verloren. Neben den Entwürfen und Studien für die Abhandlung samt Einleitung finden sich in dem Band auch Exzerpte aus Schriften von Chr. Huygens, J. Gregory und P. Mengoli, gemeinsam mit E. W. v. Tschirnhaus bzw. J. Ozanam angefertigte Gesprächsnotizen sowie Berechnungen von G. Mohr und von Tschirnhaus für Leibniz.

DOI:: https://doi.org/10.1524/9783050094458
ISBN:: 978-3-05-006006-4
ISBN:: 978-3-05-009445-8
Subject:: Philosophy
Subject:: History of Philosophy
Subject:: Modern Philosophy
Subject:: Early Modern Philosophy
Publisher:: Akademie Verlag