Jump to ContentJump to Main Navigation
Show Summary Details
More options …

Geodesy and Cartography

The Journal of Committee on Geodesy of Polish Academy of Sciences

2 Issues per year

Open Access
Online
ISSN
2300-2581
See all formats and pricing
More options …

Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations

Marcin Ligas
  • Department of Geomatics, AGH University of Science and Technology, 30 Mickiewicza Al., 30-059 Krakow, Poland
  • Other articles by this author:
  • De Gruyter OnlineGoogle Scholar
/ Piotr Banasik
  • Department of Geomatics, AGH University of Science and Technology, 30 Mickiewicza Al., 30-059 Krakow, Poland
  • Other articles by this author:
  • De Gruyter OnlineGoogle Scholar
Published Online: 2012-06-21 | DOI: https://doi.org/10.2478/v10277-012-0013-x

Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations

A new method to transform from Cartesian to geodetic coordinates is presented. It is based on the solution of a system of nonlinear equations with respect to the coordinates of the point projected onto the ellipsoid along the normal. Newton's method and a modification of Newton's method were applied to give third-order convergence. The method developed was compared to some well known iterative techniques. All methods were tested on three ellipsoidal height ranges: namely, (-10 - 10 km) (terrestrial), (20 - 1000 km), and (1000 - 36000 km) (satellite). One iteration of the presented method, implemented with the third-order convergence modified Newton's method, is necessary to obtain a satisfactory level of accuracy for the geodetic latitude (σφ < 0.0004") and height (σh < 10-6 km, i.e. less than a millimetre) for all the heights tested. The method is slightly slower than the method of Fukushima (2006) and Fukushima's (1999) fast implementation of Bowring's (1976) method.

Transformacja współrzędnych kartezjańskich na geodezyjne na elipsoidzie obrotowej poprzez rozwiązanie układu równań nieliniowych

Artykuł przedstawia nową metodę transformacji między współrzędnymi kartezjańskimi a współrzędnymi geodezyjnymi na elipsoidzie obrotowej. Metoda polega na rozwiązaniu nieliniowego układu równań, w którym niewiadomymi są współrzędne punktu leżącego na powierzchni elipsoidy a będącego rzutem punktu znajdującego się poza elipsoidą wzdłuż normalnej. Tak wyznaczone współrzędne punktu na elipsoidzie są podstawą do obliczenia szerokości i wysokości geodezyjnej. Do rozwiązania układu równań zastosowano metodę Newtona oraz zmodyfikowaną metodę Newtona charakteryzującą się zbieżnością trzeciego rzędu. Nowa metoda została porównana z kilkoma dobrze znanymi rozwiązaniami iteracyjnymi. Wszystkie metody były testowane na trzech zakresach wysokości elipsoidalnych: -10 - 10 km (ziemski), 20 - 1000 km, 1000 - 36000 km (satelitarny). Zastosowanie zmodyfikowanej metody Newtona powoduje, iż jedna iteracja nowej metody wystarczy aby osiągnąć zadowalający poziom dokładności zarówno dla szerokości geodezyjnej, jak i wysokości. Prezentowana metoda jest nieco wolniejsza niż metoda Fukushimy (2006) oraz od szybkiej implementacji metody Bowringa (Fukushima, 1999).

Keywords: Cartesian and geodetic coordinates; rotational ellipsoid; Newton's method; coordinate transformation

  • Borkowski K.M., (1987): Transformation of Geocentric to Geodetic Coordinates without Approximations, Astrophys. Space Sci., 139, pp. 1-4.Google Scholar

  • Borkowski K.M., (1989): Accurate Algorithms to Transform Geocentric to Geodetic Coordinates, Bulletin Géodésique, Vol. 63, pp. 50-56.Google Scholar

  • Bowring B.R., (1976): Transformation from spatial to geographical coordinates, Survey Review, 23, pp. 323-327.Google Scholar

  • Darvishi M.T., Barati A., (2007): A third-order Newton-type method to solve systems of nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 187(2), pp. 630-635.Google Scholar

  • Featherstone W.E., Claessens S.J., (2008): Closed-form transformation between geodetic and ellipsoidal coordinates, Studia geophysica et geodaetica, 52, pp. 1-18.Web of ScienceGoogle Scholar

  • Feltens J., (2009): Vector methods to compute azimuth, elevation, ellipsoidal normal and the Cartesian (X, Y, Z) to geodetic (φ, λ, h) transformation, Journal of Geodesy, Vol. 82, pp. 493-504.Web of ScienceGoogle Scholar

  • Fukushima T., (1999): Fast transform from geocentric to geodetic coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 73, pp. 603-610.Web of ScienceGoogle Scholar

  • Fukushima T., (2006) Transformation from Cartesian to geodetic coordinates accelerated by Halley's method, Journal of Geodesy, Vol. 79, pp. 689-693.Google Scholar

  • Hedgley D.R., (1976): An exact transformation from geocentric to geodetic coordinates for nonzero altitudes, NASA TR R - 458, Washington.Google Scholar

  • Heiskanen W.A., Moritz H., (1967): Physical Geodesy, W.H. Freeman and Company, San Francisco.Google Scholar

  • Ligas M., (2011): Cartesian to geodetic coordinates conversion on a triaxial ellipsoid, Journal of Geodesy, DOI: 10.1007/s00190-011-0514-7.Web of ScienceCrossrefGoogle Scholar

  • Lin K.C., Wang J., (1995): Transformation from geocentric to geodetic coordinates using Newton's iteration, Bulletin Géodésique, Vol. 69, pp. 300-303.Google Scholar

  • Moritz H., (1980): Geodetic Reference System 1980, Bulletin Géodésique, Vol. 54, pp. 395-405.Google Scholar

  • Shu Ch., Li F., (2010): An iterative algorithm to compute geodetic coordinates, Computers & Geosciences, Vol. 36, pp. 1145-1149.Web of ScienceGoogle Scholar

  • Vanicek P., Krakiwsky E.J., (1982): Geodesy: The concepts, Elsevier, Amsterdam, The Netherlands.Google Scholar

  • Vermeille H., (2002): Direct transformation from geocentric to geodetic coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 76, pp. 451-454.Google Scholar

  • Vermeille H., (2004): Computing geodetic coordinates from geocentric coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 78, pp. 94-95.Google Scholar

  • Zanevicius D., Kersys F., (2010): Technologies for calculating geodetic coordinates applying h-geometry functions, Geodezija ir Kartografija, 36(4), Vilnius Gediminas Technical University, pp. 160-163.Google Scholar

  • Zhang C.D., Hsu H.T., Wu X.P., Li S.S., Wang Q.B., Chai A.Z., Du L., (2005): An alternative algebraic algorithm to transform Cartesian to geodetic coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 79, pp. 413-420.Google Scholar

About the article


Published Online: 2012-06-21

Published in Print: 2011-01-01


Citation Information: Geodesy and Cartography, ISSN (Print) 2080-6736, DOI: https://doi.org/10.2478/v10277-012-0013-x.

Export Citation

This content is open access.

Citing Articles

Here you can find all Crossref-listed publications in which this article is cited. If you would like to receive automatic email messages as soon as this article is cited in other publications, simply activate the “Citation Alert” on the top of this page.

[1]
A. Soltanpour, M. Pirooznia, S. Aminjafari, and P. Zareian
Marine Georesources & Geotechnology, 2017, Page 1
[2]
Peter Kock, Ralf Weller, Andrzej W. Ordys, and Gordana Collier
IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2015, Volume 16, Number 1, Page 339
[3]
Han Shih
American Journal of Operations Research, 2015, Volume 05, Number 05, Page 450

Comments (0)

Please log in or register to comment.
Log in