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BY-NC-ND 3.0 license Open Access Published by De Gruyter June 2, 2014

The Structure of Hydromagnetic Shock Waves

I. Non linear hydromagnetic waves in a cold plasma

  • L. Davis , R. Lust and A. Schlüter

Es werden Wellen in einem quasi-neutralen Gas untersucht, das Ionen und Elektronen enthält und genügend kalt ist, so daß die thermischen Bewegungen vernachlässigt werden können. Außerdem werden Zusammenstöße zwischen den Teilchen vernachlässigt, jedoch nicht die Trägheitseffekte des elektrischen Stromes. Die nicht-linearen Gleichungen für unendlich ausgedehnte, ebene Kompressionswellen, die sich senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld mit ungeänderter Form und Geschwindigkeit ausbreiten, werden auf eine einzige Diff.-Gl. 2. Ordnung für das Magnetfeld (oder für die Verschiebung der Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) zurückgeführt, vorausgesetzt, daß die Teilchenbahnen keine Schleifen bilden. Diese Diff.-Gl. wird exakt durch elliptische Funktionen gelöst. Verschiedene Kurven, die durch numerische Integration erhalten wurden, beschreiben die wesentlichen Eigenschaften der Lösungen. Außerdem werden Potenzreihen-Entwicklungen in der Amplitude α angegeben, wobei der Fehler in der Ordnung a4 ist. Die Lösungen sind entweder periodische Wellenzüge oder Einzelwellen. Alle Lösungen sind symmetrisch um die Maxima und Minima der magnetischen Feldstärke. Die Wellenlängen sind von der Größenordnung des Gyrationsradius. Die Geschwindigkeiten erstreckten sich vom Wert Null bis zum doppelten der Alfvén-Geschwindigkeit.

Es wird die Beziehung zwischen diesen Wellen und hydromagnetischen Stoßwellen im Plasma geringer, aber nicht verschwindender Häufigkeit gaskinetischer Stöße betrachtet und es wird der Schluß gezogen, daß die gesamte Stoßfront eine Dichte hat, die durch das Produkt aus der mittleren Zeit zwischen zwei gaskinetischen Stößen und der Gasgeschwindigkeit relativ zur Stoßfront bestimmt ist. Dieses Gebiet wird ausgefüllt durch Wellenzüge, deren Struktur von der Größenordnung des Gyrationsradius ist. Zwei Analoga zu den RANKINE-Hugeniot-Bedingungen werden angegeben: Eine, bei der auf beiden Seiten der Stoßfront ein Plasma der Temperatur Null mit verschiedenen Wellenzügen vorliegt; die anderen sind die üblichen magnetohydrodynamischen Stoßbedingungen, nur daß hier Bewegungen ausschließlich senkrecht zum Magnetfeld betrachtet werden. In beiden Fällen sind alle Erhaltungssätze durch die Stoßfront hindurch erfüllt, aber es scheint kein zufriedenstellender Mechanismus für die Prozesse innerhalb der Stoßfront zu existieren.

The waves in a cold (no thermal motions) quasi-neutral gas consisting of ions and electrons are treated neglecting collisions but not neglecting the inertial effects associated with the electric current. Provided the particle trajectories do not make loops, the non-linear equations for infinite plane compressional waves traveling perpendicular to a uniform magnetic field with unchanging form and speed are reduced to a single second order ordinary differential equation in the field strength (or the particle displacement normal to the direction of propagation) and solved exactly. The solutions can be expressed in terms of elliptic functions. Curves derived from numerical integration by means of a digital computer give the important properties of the waves. Power series solutions in the amplitude, a, are given, the error being of the order of a4. Both wave trains and solitary waves are found, all solutions being symmetrical about maxima and minima in the field strength. The wavelengths are of the order of the gyro-radius. The velocities range from zero to twice the Alfvén velocity, higher velocities leading to looped trajectories. By reduction to dimensionless form, all waves are included in a two parameter family. The relation of these waves to hydromagnetic shock waves in low density plasmas is considered and it is concluded that the entire shock will have a thickness determined by the product of the mean time between collisions and the gas velocity with respect to the shock front. This region will be occupied by wave trains whose structure is of the order of the gyro-radius. Two analogues of the Rankine-Hugeniot conditions are given, one in which the regions on the two sides of the “shock-front” are occupied by cold plasmas containing different wave trains, the other being the familiar hydromagnetic shock conditions except that only particle motions normal to the magnetic field are considered. In each all conservation laws are satisfied across the “shock-front” but there seems to be no satisfactory mechanism for the processes within the front.

Received: 1958-6-13
Published Online: 2014-6-2
Published in Print: 1958-11-1

© 1946 – 2014: Verlag der Zeitschrift für Naturforschung

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 3.0 License.

Downloaded on 19.3.2024 from https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/zna-1958-1102/html
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